Question

【題目】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系；

（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側，其它條件不變：①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系．②若連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CF=BC+CD；（3）①CF=CD-BC；②△AOC是等腰三角形．理由見解析．

【解析】試題分析：（1）、①、根據等腰直角的性質得出∠ABC=∠ACB=45°，從而得出四邊形ADEF是正方形，根據∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°得出∠BAD=∠CAF，從而得出△BAD和△CAF全等，則∠ACF=∠ABD=45°，從而得出垂直；②、根據 全等得出BD=CF，從而得出結論；（2）、根據（1）的證法的采購員BD=CF，得出CF=BC+CD；（3）、①、根據（1）的證法得出BD=CF，從而得出CF=CD-BC；②、∠BAC=90°，AB=AC得出∠ABD=135°，根據四邊形ADEF是正方形得出∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，從而得出△BAD和△CAF全等，則∠ACF=135°，從而得出∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，得出△FCD為直角三角形，根據正方形的性質得出OC=OA，從而說明△FCD為等腰直角三角形.

試題解析：（1）、①、∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°， ∴∠ACF+∠ACB=90°， ∴BD⊥CF；

②、由①△BAD≌△CAF可得BD=CF， ∵BD=BC-CD， ∴CF=BC-CD；

（2）、與（1）同理可得BD=CF， 所以，CF=BC+CD；

（3）、①、與（1）同理可得，BD=CF， 所以，CF=CD-BC；

②∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 則∠ABD=180°-45°=135°，

∵四邊形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90° ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中，AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°， ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，則△FCD為直角三角形，

∵正方形ADEF中，O為DF中點， ∴OC=DF ∵在正方形ADEF中，OA=AEAE=DF， ∴OC=OA，

∴△AOC是等腰三角形