Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，得

解得

∴所求拋物線的解析式為：y=﹣ x2+x+4

（2）

解：設點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G．

由﹣ x2+x+4=0，

得x1=﹣2，x2=4

∴點B的坐標為（﹣2，0）

∴AB=6，BQ=m+2

∵QE∥AC

∴△BQE∽△BAC

∴

即

∴

∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ

= BQCO﹣ BQEG

= （m+2）（4﹣ ）

=

=﹣ （m﹣1）2+3

又∵﹣2≤m≤4

∴當m=1時，S△CQE有最大值3，此時Q（1，0）

（3）

解：存在．在△ODF中．

（ⅰ）若DO=DF

∵A（4，0），D（2，0）

∴AD=OD=DF=2

又在Rt△AOC中，OA=OC=4

∴∠OAC=45度

∴∠DFA=∠OAC=45度

∴∠ADF=90度．此時，點F的坐標為（2，2）

由﹣ x2+x+4=2，

得x1=1+ ，x2=1﹣

此時，點P的坐標為：P（1+ ，2）或P（1﹣ ，2）．

（ⅱ）若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M

由等腰三角形的性質得：OM= OD=1

∴AM=3

∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3

∴F（1，3）

由﹣ x2+x+4=3，

得x1=1+ ，x2=1﹣

此時，點P的坐標為：P（1+ ，3）或P（1﹣ ，3）．

（ⅲ）若OD=OF

∵OA=OC=4，且∠AOC=90°

∴AC=

∴點O到AC的距離為 ，而OF=OD=2 ，與OF≥2 矛盾，所以AC上不存在點使得OF=OD=2，

此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形

綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形

所求點P的坐標為：P（1+ ，2）或P（1﹣ ，2）或P（1+ ，3）或P（1﹣ ，3）．

【解析】（1）根據拋物線過C（0，4）點，可確定c=4，然后可將A的坐標代入拋物線的解析式中，即可得出二次函數的解析式．（2）可先設Q的坐標為（m，0）；通過求△CEQ的面積與m之間的函數關系式，來得出△CQE的面積最大時點Q的坐標．△CEQ的面積=△CBQ的面積﹣△BQE的面積．可用m表示出BQ的長，然后通過相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ邊上的高，進而可根據△CEQ的面積計算方法得出△CEQ的面積與m的函數關系式，可根據函數的性質求出△CEQ的面積最大時，m的取值，也就求出了Q的坐標．（3）本題要分三種情況進行求解：①當OD=OF時，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是個等腰直角三角形，于是可得出F的坐標應該是（2，2）．由于P，F兩點的縱坐標相同，因此可將F的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標．②當OF=DF時，如果過F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的縱坐標，然后根據①的方法求出P的坐標．③當OD=OF時，OF=2，由于O到AC的最短距離為2 ，因此此種情況是不成立的．綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標．