Question

【題目】已知：C是線段AB所在平面內任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側作等邊三角形ACE和BCD，聯結AD、BE交于點P．

（1）如圖1，當點C在線段AB上移動時，線段AD與BE的數量關系是： ．
（2）如圖2，當點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理由．
（3）在（2）的條件下，∠APE大小是否隨著∠ACB的大小發生變化而發生變化，若變化寫出變化規律，若不變，請求出∠APE的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ACE和△BCD都是等邊三角形，
∴∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，
∴∠ACE+∠DCE=∠DCB+∠DCE，即∠ACD=∠ECB，
在△ECB和△ACD中，
，
∴△ECB≌△ACD，
∴AD=BE，
故答案為：AD=BE
（2）

解：AD=BE成立．

證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形，

∴EC=AC，BC=DC，

∠ACE=∠BCD=60°，

∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，

在△ECB和△ACD中，

，

∴△ECB≌△ACD（SAS），

∴BE=AD；

（3）

解：∠APE不隨著∠ACB的大小發生變化，始終是60°，

如圖2

設BE與AC交于Q，

由（2）可知△ECB≌△ACD，

∴∠BEC=∠DAC，

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°，

∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

【解析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，根據全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD，根據全等三角形的性質證明；（2）根據等邊三角形的性質得到∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，根據全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD，根據全等三角形的性質證明；（3）根據全等三角形的性質得到∠BEC=∠DAC，根據三角形內角和定理計算即可．