Question

【題目】如圖，已知二次函數y=﹣x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交該二次函數圖象于點B，連結BC．

（1）求該二次函數的解析式及點M的坐標；
（2）若將該二次函數圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；
（3）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構成的三角形與△BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結果，不必寫解答過程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數y=﹣x2+bx+c得，

解得

∴二次函數解析式為y=﹣x2+2x+4，

配方得y=﹣（x﹣1）2+5，

∴點M的坐標為（1，5）；

（2）解：設直線AC解析式為y=kx+b，把點A（3，1），C（0，4）代入得，

解得

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點E、點F

把x=1代入直線AC解析式y=﹣x+4解得y=3，則點E坐標為（1，3），點F坐標為（1，1）

∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4

（3）解：連接MC，作MG⊥y軸并延長交AC于點N，則點G坐標為（0，5）

∵MG=1，GC=5﹣4=1

∴MC= = ，

把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，則點N坐標為（﹣1，5），

∵NG=GC，GM=GC，

∴∠NCG=∠GCM=45°，

∴∠NCM=90°，

由此可知，若點P在AC上，則∠MCP=90°，則點D與點C必為相似三角形對應點

①若有△PCM∽△BDC，則有

∵BD=1，CD=3，

∴CP= = = ，

∵CD=DA=3，

∴∠DCA=45°，

若點P在y軸右側，作PH⊥y軸，

∵∠PCH=45°，CP=

∴PH= =

把x= 代入y=﹣x+4，解得y= ，

∴P1（ ）；

同理可得，若點P在y軸左側，則把x=﹣ 代入y=﹣x+4，解得y=

∴P2（ ）；

②若有△PCM∽△CDB，則有

∴CP= =3

∴PH=3 ÷ =3，

若點P在y軸右側，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；

若點P在y軸左側，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7

∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．

∴所有符合題意得點P坐標有4個，分別為P1（ ），P2（ ），P3（3，1），P4（﹣3，7）．

【解析】（1）將點A、點C的坐標代入函數解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點M的坐標；（2）點M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得∠MCP=90°，則若△PCM與△BCD相似，則要進行分類討論，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種，然后利用邊的對應比值求出點坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的性質的相關知識，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．