Question

【題目】已知：關(guān)于的方程=0沒有實(shí)數(shù)根．

求的取值范圍；

若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求證：該方程兩根的符號(hào)相同；

設(shè)中方程的兩根分別為、，若，且為整數(shù)，求的最小整數(shù)值．

Answer 1

【答案】 的取值范圍是；證明見解析；的最小值為．

【解析】

（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)由于方程mx2+（n-2）x+m-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可知m≠0，當(dāng)m＞4時(shí)，即可得出兩根的積＞0，從而得出方程的兩根符號(hào)相同；（3）由已知得m≠0，α+β= ，αβ=，再根據(jù)α：β=1：2，得出3α=，2α2=，再進(jìn)行整理得出（n-2）2=m（m-3），根據(jù)m＞4，且n為整數(shù)，得出m為整數(shù)，即可得出答案．

∵關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，

∴，

∴，

∴的取值范圍是；

由于方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可知，

當(dāng)時(shí)，，即方程的兩根之積為正，

故方程的兩根符號(hào)相同．

由已知得：，，．

∵，

∴，．

，即．

∵，且為整數(shù)，

∴為整數(shù)；

當(dāng)時(shí)，．

∴的最小值為．