Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為(8，8)，將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉角度α(0°＜α＜90°)，得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連CH、CG．

(1)求證：△CBG≌△CDG；

(2)求∠HCG的度數；判斷線段HG、OH、BG的數量關系，并說明理由；

(3)連結BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉過程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點H的坐標；如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)∠HCG=45°，HG= HO+BG，理由見解析；(3)四邊形AEBD可為矩形，H點的坐標為(,0)

【解析】

（1）求證全等，觀察兩個三角形，發現都有直角，而CG為公共邊，進而再鎖定一條直角邊相等即可，因為其為正方形旋轉得到，所以邊都相等，即結論可證．
（2）上問的結論，本題一般都要使用才能求出結果．所以由三角形全等可以得到對應邊、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一問的思路你也容易發現△CDH≌△COH，也有對應邊、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH為四角的和，四角恰好組成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．
（3）四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．由上幾問知DG=BG，所以此時同時滿足DG=AG=EG=BG，即四邊形AEBD為矩形．求H點的坐標，可以設其為（x，0），則OH=x，AH=6-x．而BG為AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三邊都可以用含x的表達式表達，那么根據勾股定理可列方程，進而求出x，推得H坐標．

(1)∵正方形ABCO繞點C旋轉得到正方形CDEF，

∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

,，

∴△CDG≌△CBG(HL)

(2)∵△CDG≌△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．

在Rt△CHO和Rt△CHD中，

∵，

∴△CHO≌△CHD(HL)，

∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，

∴∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，

∴HG=HD+DG=HO+BG

(3)四邊形AEBD可為矩形．

如圖，連接BD、DA、AE、EB，

四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．

∵DG=BG，

∴DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形，

∴當G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形．

∵四邊形DAEB為矩形，

∴AG=EG=BG=DG．

∵AB=8，

∴AG=BG=4．

設H點的坐標為(x，0)，則HO=x

∵OH=DH，BG=DG，

∴HD=x，DG=4．

在Rt△HGA中，

∵HG=x+4，GA=4，HA=8﹣x，

∴(x+4)2=42+(8﹣x)2 ， 解得x= ．

∴H點的坐標為(，0)．