Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的頂點A在原點O處，點B在x軸上，點C的坐標為（6，6），點D在y軸上，動點P，Q各從點A，D同時出發，分別沿AD，DC方向運動，且速度均為每秒1個單位長度．
（1）探索AQ與BP有什么樣的關系？并說明理由；
（2）如圖2，當點P運動到線段AD的中點處時，AQ與BP交于點E，求線段CE的長．
（3）如圖3，設運動t秒后，點P仍在線段AD上，AQ交BD于F，且△BPQ的面積為S，試求S的最小值，及當S取最小值時∠DPF的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：AQ⊥BP，AQ=BP，

理由：當點P在線段AD上時，

∵動點P，Q各從點A，D同時出發，分別沿AD，DC方向運動，且速度均為每秒1個單位長度，

∴DQ=AP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，

在△ADQ和△BAP中，

，

∴△ADQ≌△BAP（SAS），

∴AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，

又∵∠DAQ+∠BAQ=90°，

∴∠ABP+∠BAQ=90°，

∴∠AEB=90°，

即AQ⊥BP；

當點P在AD的延長線上時，

同理可得，AQ=BP，AQ⊥BP

（2）解：如圖2，延長AQ，BC交于點G，

當點P運動到線段AD的中點處時，AP=DQ= CD，

∴DQ=CQ，

又∵∠ADQ=∠GCQ=90°，∠AQD=∠GQC，

∴在△ADQ和△GCQ中，

，

∴△ADQ≌△GCQ（ASA），

∴AD=CG=BC，

即點C為BG的中點，

∵∠BEG=90°，

∴Rt△BEG中，EC= BG=BC=6

（3）解：運動t秒后，AP=DQ=t，PD=CQ=6﹣t，

∵△BPQ的面積S

=正方形ABCD的面積﹣△ABP的面積﹣△PDQ的面積﹣△BCQ的面積

=36﹣ ×6×t﹣ ×t（6﹣t）﹣ ×6×（6﹣t）

= （t﹣3）2+ ，

∴當t=3時，S取得最小值為 ，

且此時點P在AD的中點處，

∴DP=DQ=3，

在△DPF和△DQF中，

，

∴△DPF≌△DQF（SAS），

∴∠DPF=∠DQF，

∵Rt△DQA中，tan∠DQA= =2，

∴tan∠DPF=2

【解析】（1）根據DQ=AP，AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，即可判定△ADQ≌△BAP（SAS），進而得出AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，再根據∠ABP+∠BAQ=90°，可得AQ⊥BP；（2）延長AQ，BC交于點G，先判定△ADQ≌△GCQ（ASA），得出AD=CG=BC，即點C為BG的中點，再根據Rt△BEG中，EC= BG=BC，可得EC=6；（3）運動t秒后，AP=DQ=t，PD=CQ=6﹣t，根據△BPQ的面積=正方形ABCD的面積﹣△ABP的面積﹣△PDQ的面積﹣△BCQ的面積，可得S= （t﹣3）2+ ，進而得出當t=3時，S取得最小值為 ，此時點P在AD的中點處，可判定△DPF≌△DQF（SAS），進而得到∠DPF=∠DQF，根據Rt△DQA中，tan∠DQA= =2，即可得出tan∠DPF=2．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的最值和正方形的性質，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．