Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，連結BE、AD交于點P. 求證：
（1）D是BC的中點；
（2）△BEC ∽△ADC；
（3）AB× CE=2DP×AD．

Answer 1

證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
∵AB=AC，∴D是BC的中點。
（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，
∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。
（3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。
∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。
∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。
∴。∴。
∵BC=2BD，∴，即。
∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴。
∴，即AB•CE=2DP•AD。

圓周角定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質。
【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三線合一，即可證得D是BC的中點。
（2）由AB是⊙O的直徑，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可證得△BEC∽△ADC。
（3）易證得△ABD∽△BCE與△BPD∽△BCE，根據相似三角形的對應邊成比例與BC=2BD，即可證得AB•CE=2DP•AD。