Question

【題目】如圖1，長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且，點P、Q分別是邊AD、AB上的動點．

（1）求BD的長；

（2）①如圖2，在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形？若能，請求出PA的長；若不能，請說明理由；

②如圖3，在BC上取一點E，使EC=5，那么當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）①能，AP=4，理由見解析②3、3.5或4．

【解析】

試題分析：（1）由條件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的長；

（2）①由題可知只能有∠QPC為直角，當PQ=PC時，可證得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的長；②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三種情況分別利用等腰三角形的性質和勾股定理求解即可．

解：

（1）如圖1，連接BD，

∵，

∴AB=4，BC=6，

則在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD==2；

（2）①能，AP=4，理由如下：

如圖2，由圖形可知∠PQC和∠PCQ不可能為直角，所以只有∠QPC=90°，則∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，

∴∠QPA=∠PCD，

當PQ=PC時，

在Rt△APQ和Rt△DCP中

∴△APQ≌△DCP（AAS），

∴AP=CD=4，

故在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形，此時AP=4；

②當PC=EC=5時，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，由勾股定理可求得PD=3，所以AP=AB﹣PD=3，

當PC=PE=5時，如圖3，過P作PF⊥BC交BC于點F，則FC=EF=PD=EC=2.5，所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5，

當PE=EC=5時，如圖4，過E作EH⊥AD于點H，由可知AH=BE=1，在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，由勾股定理可得HP=3，所以AP=AH+PH=1+3=4，

綜上可知當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長為3、3.5或4．