Question

【題目】閱讀下面材料，完成后面題目．
0°-360°間的角的三角函數
在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形ABC，∠A是銳角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=
為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：
設有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸ox，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，點P和原點（0，0）的距離為r=（r總是正的），然后把角α的三角函數規定為：sinα=，cosα=，tanα=，cotα=

我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關，而與點P在角α的終邊位置無關．
比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題．
（1）若90°＜α＜180°，則角α的三角函數值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪幾個？
（2）若角α的終邊與直線y=2x重合，求sinα+cosα的值．
（3）若角α是鈍角，其終邊上一點P（x，），且cosα=x，求tanα的值．
（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）sinα；（2）或；（3）；（4）1≤sinα+cosα≤．

【解析】

（1）由點P（x，y）在第二象限，推出x＜0，y＞0，根據sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，即可判斷；

（2）分兩種情形討論即可解決問題；

（3）如圖2中，作PE⊥x軸于E．想辦法求出OE的長，根據三角函數的定義即可解決問題；

（4）當α=0°或90°時，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，當α=45°時，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，由此即可解決問題.

（1）∵點P（x，y）在第二象限，

∴x＜0，y＞0，

∵sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，

∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，

∴取取正值的是sinα．

（2）如圖1中，

①當點P在第一象限時，作PE⊥x軸于E．設OE=a，則PE=2a，OP=a，

∴sinα+cosα=．

②當點P在第三象限時，作PE⊥x軸于E．設OE=a，則PE=2a，OP=a，

∴sinα+cosα=．

綜上所述，sinα+cosα=或．

（3）如圖2中，作PE⊥x軸于E．

由題意PE=，cosα=，

∴OP=2，

∴OE=，

∴tanα=．

（4）當α=0°或90°時，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，

當α=45°時，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，

∴1≤sinα+cosα≤．