Question

【題目】對于某一函數給出如下定義：若存在實數p，當其自變量的值為p時，其函數值等于p,則稱p為這個函數的不變值.在函數存在不變值時,該函數的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數的不變長度.特別地,當函數只有一個不變值時,其不變長度q為零.例如：下圖中的函數有0,1兩個不變值,其不變長度q等于1.

(1)分別判斷函數y=x-1，y=x-1,y=x2有沒有不變值？如果有，直接寫出其不變長度；

(2)函數y=2x2-bx.

①若其不變長度為零，求b的值；

②若1≤b≤3,求其不變長度q的取值范圍；

(3) 記函數y=x2-2x(x≥m)的圖象為G1，將G1沿x=m翻折后得到的函數圖象記為G2，函數G的圖象由G1和G2兩部分組成，若其不變長度q滿足0≤q≤3,則m的取值范圍為 .

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：（1）根據定義分別求解即可求得答案；

（2）①首先由函數y=2x2﹣bx=x，求得x（2x﹣b﹣1）=0，然后由其不變長度為零，求得答案；

②由①，利用1≤b≤3，可求得其不變長度q的取值范圍；

（3）由記函數y=x2﹣2x（x≥m）的圖象為G1，將G1沿x=m翻折后得到的函數圖象記為G2，可得函數G的圖象關于x=m對稱，然后根據定義分別求得函數的不變值，再分類討論即可求得答案．

試題解析：解：（1）∵函數y=x﹣1，令y=x，則x﹣1=x，無解；

∴函數y=x﹣1沒有不變值；

∵y=x-1 =，令y=x，則，解得：x=±1，∴函數的不變值為±1，q=1﹣（﹣1）=2．∵函數y=x2，令y=x，則x=x2，解得：x1=0，x2=1，∴函數y=x2的不變值為：0或1，q=1﹣0=1；

（2）①函數y=2x2﹣bx，令y=x，則x=2x2﹣bx，整理得：x（2x﹣b﹣1）=0．∵q=0，∴x=0且2x﹣b﹣1=0，解得：b=﹣1；

②由①知：x（2x﹣b﹣1）=0，∴x=0或2x﹣b﹣1=0，解得：x1=0，x2=．∵1≤b≤3，∴1≤x2≤2，∴1﹣0≤q≤2﹣0，∴1≤q≤2；

（3）∵記函數y=x2﹣2x（x≥m）的圖象為G1，將G1沿x=m翻折后得到的函數圖象記為G2，∴函數G的圖象關于x=m對稱，∴G：y= ．∵當x2﹣2x=x時，x3=0，x4=3；

當（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）=x時，△=1+8m，當△＜0，即m＜﹣時，q=x4﹣x3=3；

當△≥0，即m≥﹣時，x5=，x6=．

①當﹣≤m≤0時，x3=0，x4=3，∴x6＜0，∴x4﹣x6＞3（不符合題意，舍去）；

②∵當x5=x4時，m=1，當x6=x3時，m=3；

當0＜m＜1時，x3=0（舍去），x4=3，此時0＜x5＜x4，x6＜0，q=x4﹣x6＞3（舍去）；

當1≤m≤3時，x3=0（舍去），x4=3，此時0＜x5＜x4，x6＞0，q=x4﹣x6＜3；

當m＞3時，x3=0（舍去），x4=3（舍去），此時x5＞3，x6＜0，q=x5﹣x6＞3（舍去）；

綜上所述：m的取值范圍為1≤m≤3或m＜﹣．