Question

【題目】已知△ABC，O 是△ABC 所在平面內的一點，連接 OB、OC，將∠ABO、∠ACO分別記為∠1、∠2．

(1)如圖(1)，當點 O 在圖中所示的位置時，∠1＋∠2＋∠A＋∠O＝ ；

(2)如圖(2)，當點 O 在△ABC 的內部時，∠1、∠2、∠A、∠OC四個角之間滿足怎樣 的數量關系？請寫出你的結論并說明理由；

(3)當點 O 在△ABC 所在平面內運動時(點 O 不在三邊所在的直線上)，由于所處的位 置不同，∠1、∠2、∠A、∠OC四個角之間滿足的數量關系還存在著與(1)、(2) 中不同的結論，請在圖(3)中畫出一種不同的示意圖，并直接寫出相應的結論．

Answer 1

【答案】（1）360°；（2）∠O=∠1+∠2+∠A；（3）∠A=∠2+∠O-∠1；

【解析】

（1）根據四邊形內角和定理解答即可；

（2）連接OA，并延長交BC于D點，根據三角形內角與外角的性質解答即可；

（3）根據題意畫出圖形，再寫出結論．

(1)如圖(1)，當點O與點A在直線BC的異側時，

∵AB、OB、OC、AC四條線段正好構成四邊形，

∴∠1+∠2+∠A+∠O=360；

(2)連接OA，并延長交BC于D點，

∵∠BOD是△AOB的外角，

∴∠OAB+∠1=∠BOD，

∵∠COD是△AOB的外角，

∴∠OAC+∠2=∠COD，

∴∠OAB+∠1+∠OAC+∠2=∠COD+∠BOD，

即∠1+∠2+∠A=∠O.

(3)如圖所示，

∠A=∠2+∠O∠1.

在△ABD中,∠4=180∠A∠1，

∵∠3=∠4，

∴∠3=180∠A∠1，

∴∠3+∠2+∠O=180，

∴180∠A∠1+∠2+∠O=180，

整理得，∠A=∠2+∠O∠1.