Question

【題目】如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，3 ）．動點P從A點開始沿折線AO﹣OB﹣BA運動，點P在AO，OB，BA上運動，速度分別為1，，2（長度單位/秒）﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以（長度單位/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F兩點﹒設動點P與動直線l同時出發，運動時間為t秒，當點P沿折線AO﹣OB﹣BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．

請解答下列問題：

（1）過A，B兩點的直線解析式是　 　，∠BAO=　 　；

（2）當t﹦4時，點P的坐標為　 　；當t﹦　 　，點P與點E重合；

（3）作點P關于直線EF的對稱點P′．在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；60°；（2）（0，）；；（3）.

【解析】

（1）利用待定系數法可求得直線AB的解析式，根據直角三角形兩銳角互余即可求得∠BAO的度數；

（2）根據點P的運動路線，以及點P在不同階段的運動速度，即可求得；

（3）分三種情況點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上結合菱形的判定分別進行討論即可得.

（1）設過A，B兩點的直線解析式是y=kx+b，則有

，

解得，，

∴直線AB解析式是y=﹣x+3，

∵∠B=30°，

∴∠BAO=90°-30°=60°，

故答案為：y=﹣x+；60°；

（2）當t﹦4時，OP=（4﹣3）×=，

∴點P的坐標為（0，）；

當點P與點E重合時，（t﹣3）×=t，

解得，t=，

∴t=，點P與點E重合；

故答案為：（0，）；；

（3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）

∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，

∴△EOP≌△FGP（SAS），

∴OP=PG，

又∵OE=FG=t，∠A=60°，

∴AG=FGtan60°=t；

而AP=t，

∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG=t，

由3﹣t=t，得t=；

當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；

當點P在線段BA上時，

過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2），則四邊形PMEH是矩形，

∴PM=EH．

∵四邊形PEP'F是菱形，

∴EH=FH．

∵OE=t，

∴BE=3﹣t，

∴EF=BEtan60°=3﹣，

∴MP=EH=EF=，又BP=2（t﹣6），

在Rt△BMP中，BPcos60°=MP

即2（t﹣6）=，

解得t=．