Question

【題目】如圖，中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)、的移動(dòng)速度相同，與直線相交于點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接、，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，當(dāng)點(diǎn)、在移動(dòng)過(guò)程中，線段、、有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論： .

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或.

【解析】

（1）由題意得出BD=CE，由平行線的性質(zhì)得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，證出BD=GD=CE，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BM=GM，由平行線得出GF=CF，即可得出結(jié)論．

（1）四邊形CDGE是平行四邊形．理由如下：

∵D、E移動(dòng)的速度相同，

∴BD=CE，

∵DG∥AE，

∴∠DGB=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DGB，

∴BD=GD=CE，

又∵DG∥CE，

∴四邊形CDGE是平行四邊形；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，BM+CF=MF；理由如下：

如圖2，

由（1）得：BD=GD=CE，

∵DM⊥BC，

∴BM=GM，

∵DG∥AE，

∴GF=CF，

∴BM+CF=GM+GF=MF．

同理可證，當(dāng)D點(diǎn)在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，可證， 如圖3，4.