Question

【題目】如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．(友情提醒：正方形的四條邊都相等，即AB＝BC＝CD＝DA；四個(gè)內(nèi)角都是90°，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°)

（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)AP為x，求出BE的長(zhǎng)．(用含x的代數(shù)式表式)

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH∠EPB=∠EBC∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）解：△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?．

證明：如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q.

由(1)知∠APB=∠BPH，

∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．

∴AP=QP，AB=BQ．

∵AB=BC，

∴BC=BQ．

∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8

（3）解：如圖3，過(guò)F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．

∵EF為折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，

(4BE)2+x2=BE2．

解得：

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，由PE=BE，得到PE=BE，根據(jù)對(duì)邊對(duì)等角得到∠EBP=∠EPB，又∠EPH=∠EBC=90°，得到∠PBC=∠BPH；由AD∥BC，得到∠APB=∠BPH；（2）由(1)知∠APB=∠BPH，根據(jù)AAS得到△ABP≌△QBP；得到對(duì)應(yīng)邊相等AP=QP，AB=BQ；由AB=BC，得到△BCH≌△BQH，得到CH=QH，求出△PHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到△EFM≌△BPA，得到對(duì)應(yīng)邊EM=AP，在Rt△APE中，根據(jù)勾股定理得到BE的代數(shù)式.