Question

【題目】問題提出

旋轉是圖形的一種變換方式，利用旋轉來解決幾何問題往往可以使解題過程更簡單，起到事半功倍的效果．

初步思考

（）如圖①，點是等邊內部一點，且， ， ．求的長．

小敏在解答此題時，利用了“旋轉法”進行證明，她的方法如下：

如圖②，將繞點按順時針方向旋轉后得到，連接．（請你在下面的空白處完成小敏的證明過程．）

推廣運用

（）如圖③，在中， ， ，點 是內部一點，且， ， ．求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）只要證明△ADP是等邊三角形，△PDB是直角三角形，兩個勾股定理即可解決問題；（2）如圖，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．連接CD、PD．只要證明△DPC是直角三角形，即可解決問題；

試題解析：（）∵將繞點按順時針方向旋轉得到，

∴， ， ， ．

∵， ，

∴為等邊三角形 ．

∴， ．

又，

∴．

在中， ， ，

∴．

（2）如圖，作，使．連接、，

∵， ，

∴，

又，

∴，

∴，

在中， ， ， ，

易證， ．

∴．

在中，由勾股定理可得， ．