Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于點M．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），

把點A（0，4）代入上式得：a= ，

∴y= （x﹣1）（x﹣5）= x2﹣ x+4= （x﹣3）2﹣ ，

∴拋物線的對稱軸是：直線x=3；

（2）解：P點坐標為（3， ）．

理由如下：

∵點A（0，4），拋物線的對稱軸是直線x=3，

∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4）

如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小．

設直線BA′的解析式為y=kx+b，

把A′（6，4），B（1，0）代入得 ，

解得 ，

∴y= x﹣ ，

∵點P的橫坐標為3，

∴y= ×3﹣ = ，

∴P（3， ）．

（3）解：在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．

設N點的橫坐標為t，此時點N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），

如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，

由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣ x+4，

把x=t代入得：y=﹣ t+4，則G（t，﹣ t+4），

此時：NG=﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN= AD×NG+ NG×CF= NGOC= ×（﹣ t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，

∴當t= 時，△CAN面積的最大值為 ，

由t= ，得：y= t2﹣ t+4=﹣3，

∴N（ ，﹣3）．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），然后將代入A（0，4）代入拋物線的解析式可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式，然后利用拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸；
（2）作點A關于對稱軸的對稱點A′，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小，然后再求出直線BA′的解析式，從而可求得點P的坐標．
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，可得到點N的坐標，再求得直線AC的解析式，從而可求得NG的長t的函數關系式，最后再求出二次函數最大值即可.