Question

【題目】如圖（a）五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地示意圖，經過多年開墾荒地，現已經變成圖（b）所示的形狀.但承包土地與開墾荒地的分解小路，即圖（b）中折線CDE還保留著.張大爺想過E點修一條直路EF，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多.（不計分解小路與直路的占地面積）請你用有關知識，按張大爺的修路要求在圖（b）中畫出相應的圖形（請務必保留作圖痕跡）.

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

要求面積不變且要經過點E，我們可以假設這一直線已經作出，觀察可以發現，實際上是將△EDC進行等積變換，此時只要連接EC，利用尺規作圖過點D作EC的平行線，交EN于點F，交CM于點G，再連接EG，利用兩平行線間的距離處處相等，可得S△ECG=S△ECD，問題即得解決.

解：畫法如圖1所示（連接EC，以ED為一邊作∠EDF=∠DEC）．

圖1 圖2

如圖2，連接EG，由作圖知∠EDF=∠DEC，所以DF∥EC，設直線DF交EN于點F，交CM于點G，則線段EG即為所求直路的位置.

理由如下：如圖2，

∵EC∥FG，

∴D和G點到EC的距離相等（平行線間的距離處處相等），

又∵EC為公共邊，

∴S△ECG=S△ECD（同底等高的兩三角形面積相等），

∴S五邊形AEDCB= S四邊形ABCE+S△ECD=S四邊形ABCE+ S△ECG，S五邊形EDCMN=S四邊形EGMN．

即EF為直路的位置，可以保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多.