Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC=60°，BD平分∠ADC．

(1)試說明△ABC是等邊三角形；

(2)若AD=2，DC=4，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCD的面積為.

【解析】

（1）據已知條件和圓周角定理即可得到結論;

（2）過點A作AE⊥CD，過點B作BF⊥AC，得∠AED=90°,∠ADE=60°,∠DAE=30°,DE =1，,CE= 5,從而求出,再求出,即可求出結論.

解:（1）∵ 四邊形ABCD內接于⊙O

∴ ∠ABC＋∠ADC=180°

∵ ∠ABC=60°，∴ ∠ADC=120°

∵ DB平分∠ADC，∴ ∠ADB=∠CDB=60°

∴ ∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°

∴ ∠ABC=∠BCA=∠BAC

∴ △ABC是等邊三角形

⑵ 過點A作AE⊥CD，垂足為點E；

過點B作BF⊥AC，垂足為點F.

∴ ∠AED=90°

∵ ∠ADC=120° ∴ ∠ADE=60° ∴ ∠DAE=30°

∴ DE==1，

∵ CD=4

∴ CE=CD＋DE=1＋4=5

∴

Rt△AEC中，∠AED=90°

∴ AC=

∵ △ABC是等邊三角形

∴ AB=BC=AC=

∴ AF=FC=

∴

∴

∴ 四邊形ABCD的面積=.