Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一點，以點O為圓心，OB長為半徑作圓，恰好經過點A，并與BC交于點D．

（1）求證：CA是⊙O的切線．

（2）若AB＝2，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析:(1)連接OA,根據AB＝AC,可證∠C＝∠B＝30°,根據同弧所對圓周角等于圓心角的一半,可求得∠AOD＝60°,根據三角形內角和可得∠CAO＝90°,所以OA⊥CA,根據切線的判定定理即可求證,(2)根據特殊三角形函數值解直角三角形求出OA,再根據面積公式計算出,三角形OAC的面積,利用扇形面積公式計算扇形AOD的面積,根據面積割補法求陰影部分面積即可.

試題解析:（1）如圖,連接OA,

∵ AB＝AC,∠B＝30°,

∴ ∠C＝∠B＝30°,∠DOA＝2∠B＝60°,

∴ ∠CAO＝90°,

即OA⊥CA,

又OA是⊙O的半徑,

∴ CA是⊙O的切線,

（2）∵ AB＝,AB＝AC,

∴ AC＝2,

∵ OA⊥CA,∠C＝30°,

∴ OA＝AC·tan30°＝2·＝2,

∴ S扇形OAD＝＝π,

∴S陰影＝S△AOC－S扇形OAD＝2－π.