Question

【題目】已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如圖1，將線段AC繞點A逆時針旋轉60°得到AD，連結CD、BD，∠BAC的平分線交BD于點E，連結CE．

①求證：∠AED＝∠CED；

②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數量關系（直接寫出結果）；

（2）在圖2中，若將線段AC繞點A順時針旋轉60°得到AD，連結CD、BD，∠BAC的平分線交BD的延長線于點E，連結CE．請補全圖形，并用等式表示線段AE、CE、BD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②BD＝2CE+AE，理由見解析；（2）補圖見解析，2CE﹣AE＝BD，證明見解析.

【解析】

(1)①由旋轉的性質可得AC=AD,∠DAC=60°,由”SAS”可證△ABE≌ACE,可得∠3=∠4=15°,由三角形外角的性質可得結論;②過點A作AH⊥BD于點H,由等腰三角形的性質和直角三角形性質可得BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE;

(2)以A為頂點,AE為一邊作∠EAF=60°,AF交DB延長線于點F,通過證明△CAE≌△DAF和△BAE≌△CAE,可得CE=DF,BE=CE,即可得2CE-AE=BD.

證明：（1）

①∵將線段AC繞點A逆時針旋轉60°得到AD，

∴AC＝AD，∠DAC＝60°

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD

∴∠3＝∠5＝15°

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC

∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°

又∵AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS）

∴∠3＝∠4＝15°

∴∠6＝∠7＝30°

∴∠DEC＝∠6+∠7＝60°

∵∠AED＝∠3+∠1＝60°

∴∠AED＝∠CED

②BD＝2CE+AE

理由如下：

過點A作AH⊥BD于點H，

∵∠EBC＝∠ECB

∴BE＝CE，

∵∠AED＝60°，AH⊥BD

∴AE＝2EH

∵AB＝AD，AH⊥BD

∴BD＝2BH＝2（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE

（2）補全圖形如圖，

2CE﹣AE＝BD

理由如下：

如圖2，以A為頂點，AE為一邊作∠EAF＝60°，AF交DB延長線于點F．

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC

∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°．

∵將線段AC繞點A逆時針旋轉60°得到AD，

∴AC＝AD，∠DAC＝60°

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝AD

∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30°

∴∠ABD＝∠ADB＝75°

∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60°

∵∠EAF＝60°

又∵∠EAF＝60°，

∴∠F＝60°

∴△AEF是等邊三角形．

∴AE＝AF＝EF．

∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF，

∴△CAE≌△DAF（SAS）．

∴CE＝DF．

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45°，AE＝AE，

∴△BAE≌△CAE（SAS）．

∴BE＝CE．

∴BE＝CE．

∵DF+BE﹣EF＝BD，

∴2CE﹣AE＝BD