Question

【題目】（1）探究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等， 試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由．

（2）結論應用：如圖2，點M，N在反比例函數（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F． 試證明：MN∥EF．

（3）變式探究：如圖3，點M，N在反比例函數（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，過點M作MG⊥x軸，過點N作NH⊥y軸，垂足分別為E、F、G、H． 試證明：EF ∥GH．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由見解析；（2）、（3）證明見解析

【解析】

（1）分別過點C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足為G、H，根據三角形的面積求出CG=DH，推出平行四邊形CGDH即可；

（2）證△EMF和△NEF的面積相等，根據（1）即可推出答案

（3）利用OE·OG=OF·OH證△OEF∽△OHG，即可得出結論

（1）證明：分別過點C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA＝∠DHB＝90°．

∴ CG∥DH．

∵△ABC與△ABD的面積相等，

∴ CG＝DH．

∴ 四邊形CGHD為平行四邊形．

∴ AB∥CD．

（2）①證明：連結MF，NE．

設點M的坐標為（x1，y1），點N的坐標為（x2，y2）．

∵ 點M，N在反比例函數（k＞0）的圖象上，

∴，．

∵ ME⊥y軸，NF⊥x軸，

∴ OE＝y1，OF＝x2．

∴ S△EFM＝，

S△EFN＝．

∴S△EFM＝S△EFN．

由（1）中的結論可知：MN∥EF．

（3）連接FM、EN、MN，

同（2）可證MN∥EF，

同法可證GH∥MN，

故EF ∥GH．