Question

（2012•張家界）黃巖島是我國(guó)南海上的一個(gè)島嶼，其平面圖如圖甲所示，小明據(jù)此構(gòu)造出該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型如圖乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=3

2

千米，請(qǐng)據(jù)此解答如下問(wèn)題：

（1）求該島的周長(zhǎng)和面積；（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)

2

≈1.414，

3

≈1.73，

6

≈2.45）
（2）求∠ACD的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據(jù)AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15

2

千米，再根據(jù)∠D=90°利用勾股定理求得AD的長(zhǎng)后即可求周長(zhǎng)和面積；
（2）直接利用余弦的定義求解即可．

解答：解：（1）連接AC
∵AB=BC=15千米，∠B=90°
∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15

2

千米
又∵∠D=90°
∴AD=

AC2-CD2

=

(15 2 )2-(3 2 )2

=12

3

（千米）
∴周長(zhǎng)=AB+BC+CD+DA=30+3

2

+12

3

=30+4.242+20.784≈55（千米）
面積=S_△ABC+S_△ADC=112.5+18

6

≈157（平方千米）

（2）cos∠ACD=

CD

AC

=

3 2

15 2

=

1

5

…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，與時(shí)事相結(jié)合提高了同學(xué)們解題的興趣，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形并求解．