Question

（2012•張家界）如圖，拋物線y=-x²+

5 3

3

x+2與x軸交于C、A兩點，與y軸交于點B，點O關于直線AB的對稱點為D．
（1）分別求出點A、點C的坐標；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若反比例函數y=

k

x

的圖象過點D，求k的取值；
（4）現有兩動點P、Q同時從點A出發，分別沿AB、AO方向向B、O移動，點P每秒移動1個單位，點Q每秒移動

1

2

個單位，設△POQ的面積為S，移動時間為t，問：在P、Q移動過程中，S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，能確定拋物線與y軸的交點坐標（即B點坐標）；令y=0，能確定拋物線與x軸的交點坐標（即A、C的坐標）．
（2）由（1）的結果，利用待定系數法可求出直線AB的解析式．
（3）欲求出反比例函數的解析式，需要先得到D點的坐標．已知A、B的坐標，易判斷出△OAB是含特殊角的直角三角形，結合O、D關于直線AB對稱，可得出OD的長，結合∠DOA的讀數，即可得到D點的坐標，由此得解．
（4）首先用t列出AQ、AP的表達式，進而可得到P到x軸的距離，以OQ為底、P到x軸的距離為高，可得到關于S、t的函數關系式，根據函數的性質即可得到S的最大值及此時t的值．

解答：解：（1）∵點A、C均在X軸上，
令y=0，則-x²+

5

3

3

x+2=0；
解得 x₁=-

3

3

，x₂=2

3

．
∴C（-

3

3

，0）、A（2

3

，0）．
令x=0，得y=2，
∴B（0，2）．
綜上，A（2

3

，0）、B（0，2）．

（2）令直線AB的解析式為y=k₁x+2，
∵點A（2

3

，0）在直線上，
∴0=2

3

k₁+2
∴k₁=-

3

3

∴直線AB的解析式為y=-

3

3

x+2．

（3）由A（2

3

，0）、B（0，2）得：OA=2

3

，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；
∵D與O點關于AB對稱，∠DOA=60°，
∴OD=OA=2

3

∴D點的橫坐標為

3

，縱坐標為3，即D（

3

，3）．
因為y=

k

x

過點D，
∴3=

k

3

，
∴k=3

3

．

（4）∵AP=t，AQ=

1

2

t，P到x軸的距離：AP•sin30°=

1

2

t，OQ=OA-AQ=2

3

-

1

2

t；
∴S_△OPQ=

1

2

•（2

3

-

1

2

t）•

1

2

t=-

1

8

（t-2

3

）²+

3

2

；
依題意有，

t≤4 1 2 t≤2 3 t＞0

解得0＜t≤4．
∴當t=2

3

時，S有最大值為

3

2

．

點評：該題考查的知識點有：函數解析式的確定、二次函數的性質、圖形面積的解法等，在解答動點函數問題時，一定要注意未知數的取值范圍．