Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過A作⊙O₁的切線交⊙O₂于E，連接EB并延長交⊙O₁于C，直線CA交⊙O₂于點D．
（1）當A、D不重合時，求證：AE=DE
（2）當D與A重合時，且BC=2，CE=8，求⊙O₁的直徑．

Answer 1

分析：（1）通過證角相等來證邊相等．連接AB，那么ABED就是圓O₂的內接四邊形，根據內接四邊形的性質，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得證，我們發現∠EAD的對頂角正好是圓O₁的弦切角，因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根據等角對等邊也就得出本題要求的結論了；
（2）DA重合時，CA與圓O₂只有一個交點，即相切．那么CA，AE分別是⊙O₁和⊙O₂的直徑（和切線垂直弦必過圓心），根據切割線定理AC²=CB•CE，即可得出AC=4，即圓O₁的直徑是4．

解答：解：（1）證明：連接AB，在EA的延長線上取一點F，作⊙O₁的直徑AM，連接CM，
則∠ACM=90°，
∴∠M+∠CAM=90°，
∵AE切⊙O₁于A，
∴∠FAM=∠EAM=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FAC=∠ABC，
∵∠FAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠DAE，
而∠ABC是⊙O₂的內接四邊形ABED的外角，
∴∠ABC=∠D，
∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED．

（2）當D與A重合時，直線CA與⊙O₂只有一個公共點，
∴直線AC與⊙O₂相切，
∴CA，AE分別是⊙O₁和⊙O₂的直徑，
∴由切割線定理得：AC²=BC•CE，
∴AC=4．
答：⊙O₁直徑是4．

點評：本題考查了切線的性質，相切兩圓的性質，等腰三角形的判定，弦切角定理，切割線定理等知識點的綜合應用，題目綜合性比較強，難度適中，通過左此題培養了學生的推理能力．