Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂是等圓，直線CF順次交兩圓于C、D、E、F，且CF交O₁O₂于點M．需要添加上一個條件，（只填寫一個條件，不添加輔助線或另添字母），則M是線段O₁O₂的中點，并說明理由．（說明理由時可添加輔助線或字母）

Answer 1

分析：過點O₁作O₁A⊥CD于A，過點O₂作O₂B⊥EF，連接O₁C和O₂F，構造全等三角形：△O₁AM≌△O₂BM．如果CD=EF（或弧CD=弧EF），則可得到，O₁A=O₂B，再利用AAS可求出：△O₁AM≌△O₂BM，所以O₁M=O₂M，即M是O₁O₂的中點．

解答：解：添加

CD

=

EF

（或CD=EF）．
理由：過O₁作O₁A⊥CD于A，過O₂作O₂B⊥EF于B，則O₁A∥O₂B，連接O₁C和O₂F．
∵⊙O₁、⊙O₂是等圓，

CD

=

EF

（或CD=EF），
∴O₁A=O₂B，
∵O₁A∥O₂B，
∴△O₁AM∽△O₂BM
∴

O1A

O2B

=

O1M

O2M

，
∴O₁M=O₂M，即M為O₁O₂的中點．

點評：此題運用了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等．還用到了三角形的全等判定（AAS）及其性質．