Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為r₁，r₂，⊙O₂經過⊙O₁的圓心O₁，且兩圓相交于A，B兩點，C為⊙O₂上的點，連接AC交⊙O₁于D點，再連接BC，BD，AO₁，AO₂，O₁O₂，有如下四個結論：①∠BDC=∠AO₁O₂；②

BD

BC

=

r1

r2

；③AD=DC； ④BC=DC．其中正確結論的序號為

 

．

Answer 1

分析：①延長O₂O₁交圓O₁于M，連接AB、AM、BM、O₂B，根據相交兩圓的性質推出O₂O₁是AB的垂直平分線，得出∠AO₁O₂=

1

2

∠AO₁B=∠AMB，根據圓內接四邊形的性質得出∠AMB=∠BDC，即可判斷；②證△BDC∽△AO₁O₂即可；③無法證出BD=DC，即可判斷③；④由△BDC∽△AO₁O₂，得出∠O₂AO₁=∠DBC，∠BDC=∠AO₁O₂，根據等腰三角形的性質得出∠BDC=∠CBD即可．

解答：解：延長O₂O₁交圓O₁于M，連接AB、AM、BM、O₂B，
∵圓O₁與圓O₂交于A、B，
∴O₂O₁是AB的垂直平分線，
∵O₁A=O₁B，
∴∠AO₁O₂=

1

2

∠AO₁B=∠AMB，
∵四邊形AMBD是圓O₁的內接四邊形，
∴∠AMB=∠BDC，
∴①正確；
∵O₁A=O₁B，
∴∠C=

1

2

∠AO₂B=∠AO₂M，∠AO₁O₂=∠AMB，
∴△BDC∽△AO₁O₂，
∴

r1

r2

=

BD

BC

，
∴②正確；
∵△BDC∽△AO₁O₂，
∴∠O₂AO₁=∠DBC，∠BDC=∠AO₁O₂，
∵O₂A=O₂B，
∴∠AO₁O₂=∠O₂AO₁，
∴∠DBC=∠BDC，
∴DC=BC，∴④正確；
無法證出∠C=∠DBC，
即BD≠DC，
∵AD=BD，
∴③錯誤．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查對相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，相交兩圓的性質，圓的內接四邊形的性質，圓周角定理，線段的垂直平分線性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行證明是證此題的關鍵，題型較好，難度適中．