Question

【題目】如圖，與⊙相切于點，為⊙的弦，，與相交于點.

(1)求證:;

(2)若，，求線段的長.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析；(2) .

【解析】

（1）根據已知條件，結合同角的余角相等的性質易證∠APB=∠ABP，即可證得AP=AB；（2）作OH⊥BC于H．在Rt△OAB中，根據勾股定理求得OA的長；在Rt△POC中，根據勾股定理求得PC的長；再利用直角三角形面積的兩種表示法求得OH的長，在Rt△OCH中，根據勾股定理求得求得CH的長；利用垂徑定理求得BC的長，即可求得PB的長.

（1）證明：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵AB是⊙O的切線，

∴OB⊥AB，

∴∠OBA=90°，

∴∠ABP+∠OBC=90°，

∵OC⊥AO，

∴∠AOC=90°，

∴∠OCB+∠CPO=90°，

∵∠APB=∠CPO，

∴∠APB=∠ABP，

∴AP=AB．

（2）作OH⊥BC于H．

在Rt△OAB中， OB=4，AB=3，根據勾股定理求得OA=5，

∵AP=AB=3，

∴PO=2．

在Rt△POC中，根據勾股定理求得PC=2.

∵PCOH=OCOP，

∴OH=，

∴CH=，

∵OH⊥BC，

∴CH=BH，

∴BC=2CH=，

∴PB=BC-PC=-2 =．