Question

【題目】已知關于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求證：無論k取任何實數時，方程總有實數根；
（2）當拋物線y=kx2+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數時，若P（a，y1），Q（1，y2）是此拋物線上的兩點，且y1＞y2 ， 請結合函數圖象確定實數a的取值范圍；
（3）已知拋物線y=kx2+（2k+1）x+2恒過定點，求出定點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①當k=0時，方程為x+2=0，所以x=﹣2，方程有實數根，

②當k≠0時，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）解：令y=0，則kx2+（2k+1）x+2=0，

解關于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣ ，

∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數，

∴k=1．

∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2，

由圖象得到：當y1＞y2時，a＞1或a＜﹣4．

（3）解：依題意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

則 ，

解得 或 ．

所以該拋物線恒過定點（0，2）、（﹣2，0）．

【解析】（1）分情況討論：①該方程是一元一次方程時，②該方程是一元二次方程時；（2）通過解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2，結合圖象回答問題即可；（3）根據題意kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出關于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點坐標.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根，以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．