Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y=﹣ x2+bx+c經過點A，B．

（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；
（2）M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．
①點M在線段OA上運動，若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；
②點M在x軸上自由運動，若三個點M，P，N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱M，P，N三點為“共諧點”．請直接寫出使得M，P，N三點成為“共諧點”的m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣ x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，

∴0=﹣2+c，解得c=2，

∴B（0，2），

∵拋物線y=﹣ x2+bx+c經過點A，B，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：①由（1）可知直線解析式為y=﹣ x+2，

∵M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N，

∴P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），

∴PM=﹣ m+2，PA=3﹣m，PN=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

當∠BNP=90°時，則有BN⊥MN，

∴BN=OM=m，

∴ = ，即 = ，解得m=0（舍去）或m=2，

∴M（2，0）；

當∠NBP=90°時，則有 = ，

∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），

∴BP= = m，AP= = （3﹣m），

∴ = ，解得m=0（舍去）或m= ，

∴M（ ，0）；

綜上可知當以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似時，點M的坐標為（2，0）或（ ，0）；

②由①可知M（m，0），P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），

∵M，P，N三點為“共諧點”，

∴有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，

當P為線段MN的中點時，則有2（﹣ m+2）=﹣ m2+ m+2，解得m=3（三點重合，舍去）或m= ；

當M為線段PN的中點時，則有﹣ m+2+（﹣ m2+ m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；

當N為線段PM的中點時，則有﹣ m+2=2（﹣ m2+ m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣ ；

綜上可知當M，P，N三點成為“共諧點”時m的值為 或﹣1或﹣

【解析】（1）把A點坐標代入直線解析式可求得c，則可求得B點坐標，由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）①由M點坐標可表示P、N的坐標，從而可表示出MA、MP、PN、PB的長，分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況，分別利用相似三角形的性質可得到關于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出M、P、N的坐標，由題意可知有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，可分別得到關于m的方程，可求得m的值．
【考點精析】關于本題考查的線段的中點和相似三角形的判定與性質，需要了解線段的中點到兩端點的距離相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．