Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標；
（3）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標及最大面積；

（4）若點K為拋物線的頂點，點M（4，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線y=ax2+bx﹣5上，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線的表達式為y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：如圖1，令x=0，則y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6，BC=5 ，

要使以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，則有 或 ，

①當 時，

CD=AB=6，

∴D（0，1），

②當 時，

∴ ，

∴CD= ，

∴D（0， ），

即：D的坐標為（0，1）或（0， ）

（3）

解：設H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x軸，

∴點E的縱坐標為﹣5，

∵E在拋物線上，

∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，

∴E（4，﹣5），

∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直線BC的解析式為y=x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣ ）2+ ，

∵CE∥x軸，HF∥y軸，

∴CE⊥HF，

∴S四邊形CHEF= CEHF=﹣2（t﹣ ）2+ ，

當t= 時，四邊形CHEF的面積最大為

（4）

解：如圖2，∵K為拋物線的頂點，

∴K（2，﹣9），

∴K關于y軸的對稱點K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在拋物線上，

∴M（4，﹣5），

∴點M關于x軸的對稱點M'（4，5），

∴直線K'M'的解析式為y= x﹣ ，

∴P（ ，0），Q（0，﹣ ）．

【解析】（1）根據待定系數法直接拋物線解析式；（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點D的坐標；（3）先求出直線BC的解析式，進而求出四邊形CHEF的面積的函數關系式，即可求出最大值；（4）利用對稱性找出點P，Q的位置，進而求出P，Q的坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和相似三角形的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．