Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點D、C，直線AB與軸交于點，與直線CD交于點．

（1）求直線AB的解析式；

（2）點E是射線CD上一動點，過點E作軸，交直線AB于點F，若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標；

（3）設P是射線CD上一動點，在平面內是否存在點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的個數及其中一個點Q的坐標；否則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點E的坐標為或；（3）符合條件的點Q共3個，坐標為（3，1），（-6，4）或

【解析】

（1）先確定出A的坐標，再利用待定系數法即可得出結論；
（2）先表示出EF=|a+4-（-2a-2）|=|3a+6|，進而建立方程|3a+6|=4，求解即可得出結論；
（3）分三種情況，利用菱形的性質和中點坐標公式即可得出結論．

解：（1）∵點在上．

∴，解得，

即點A的坐標為（-2，2），

設直線AB的解析式為，

∴．

解得，

∴直線AB的解析式為．

（2）由題意，設點E的坐標為，則

∵軸，點F在直線上，

∴點F的坐標為，

∴，

∵以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，且，∴．

∵直線與軸交于點，

∴點的坐標為（0，4），

∴，即，

解得：或，

∴點E的坐標為或．

（3）

如圖2，當BC為對角線時，點P，Q都是BC的垂直平分線，且點P和點Q關于BC對稱，
∵B（0，-2），C（0，4），
∴點P的縱坐標為1，
將y=1代入y=x+4中，得x+4=1，
∴x=-3，
∴（-3，1），
∴（3，1）
當CP是對角線時，CP是BQ的垂直平分線，設Q（m，n），
∴BQ的中點坐標為，
代入直線y=x+4中，得 ①，
∵CQ=CB，
∴②，
聯立①②得，

（舍）或，
∴（-6，4），

當PB是對角線時，PC=BA=6，
設P（c，c+4），
∴，
∴（舍）或，
∴P，
設Q（d，e）
∴，
∴，
∴Q，

符合條件的點Q共3個，坐標為（3，1），（-6，4）或．