Question

【題目】問題背景

在數(shù)學(xué)活動課上，張老師要求同學(xué)們拿兩張大小不同的矩形紙片進行旋轉(zhuǎn)變換探究活動．如圖 1，在矩形紙片ABCD 和矩形紙片EFGH中，AB＝1，AD＝2，且FE＞AD，FG＞AB，點E 是 AD 的中點，矩形紙片 EFGH 以點E 為旋轉(zhuǎn)中心進行逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中會產(chǎn)生怎樣的數(shù)量關(guān)系，提出恰當?shù)臄?shù)學(xué)問題并加以解決．

解決問題

下面是三個學(xué)習小組提出的數(shù)學(xué)問題，請你解決這些問題．

（1）“奮進”小組提出的問題是：如圖 1，當 EF 與 AB 相交于點 M，EH 與 BC 相交于點 N 時，求證：EM=EN．

（2）“雄鷹”小組提出的問題是：在（1）的條件下，當 AM=CN 時，AM 與 BM 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．

（3）“創(chuàng)新”小組提出的問題是：若矩形 EFGH 繼續(xù)以點 E 為旋轉(zhuǎn)中心進行逆時針旋轉(zhuǎn)，當 時，請你在圖 2 中畫出旋轉(zhuǎn)后的示意圖，并求出此時 EF 將邊 BC 分成的兩條線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AM=BN；（3）EF 將邊 BC 分成的兩條線段的長度為 ．

【解析】試題分析：（1）過點 E 作 ，垂足為點P，根據(jù)已知條件證出PE=AE，再證得∠PEN=∠AEM，進而得到△PEN≌△AEM，即可證得結(jié)論；（2）易證PN=CN= PC，進而求出PN=CN=，再判斷出AM=PN=，即可得出BM=，從而證得結(jié)論；（3）在Rt△PEM中，求出PM的長，再用線段的和差即可得出結(jié)論．

試題解析：

（1） 如圖1，過點 E 作 ，垂足為點 P，

則四邊形 ABPE 是矩形，∴PE=AB=1， ，

∵ 點 E 是 AD 的中點，∴ ，∴PE=AE，

∵ ，∴ ，

∵PE=AE， ，∴，∴EM=EN．

（2） 由（1）知， ，∴AM=PN，

∵AM=CN，∴PN=CN=PC，

∵ 四邊形 EPCD 是矩形，∴PC=DE=1，PN=CN=，

∴AM=PN=，BM=AB-AM=，∴AM=BN．

（3）如圖2，當∠AEF=60°時，

設(shè)EF與BC交于M，EH與CD交于N，過點E作EP⊥BC于P，連接EC，

由（1）知，CP=EP=1，AD∥BC，

∴∠EMP=∠AEF=60°，

在Rt△PEM中，PM=，

∴BM=BP﹣PM=1﹣，CM=PC+PM=1+，

∴EF將邊BC分成的兩條線段的長度為1﹣，1+．