Question

【題目】（問題情境）在△ABC中，AB＝AC，點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．當P在BC邊上時（如圖1），求證：PD+PE＝CF．

證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE＝CF．（不要證明）

（變式探究）（1）當點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3），試探索PD、PE、CF之間的數量關系并說明理由；

請運用上述解答中所積累的經驗和方法完成下列兩題：

（結論運用）（2）如圖4，將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH的值．

（遷移拓展）（3）在直角坐標系中，直線l1：y＝-x+8與直線l2：y＝﹣2x+8相交于點A，直線l1、l2與x軸分別交于點B、點C．點P是直線l2上一個動點，若點P到直線l1的距離為2．求點P的坐標．

Answer 1

【答案】【變式探究】證明見解析【結論運用】8【遷移拓展】（﹣1，6），（1，10）

【解析】

【變式探究】

連接AP，同理利用△ABP與△ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得；

【結論運用】

過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，根據勾股定理和矩形的性質解答即可；

【遷移拓展】

分兩種情況，利用結論，求得點P到x軸的距離，再利用待定系數法可求出P的坐標．

變式探究:連接AP，如圖3：

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，

∴ABCF＝ACPE﹣ ABPD．

∵AB＝AC，

∴CF＝PD﹣PE；

結論運用:過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，

∵四邊形ABCD是長方形，

∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．

∵AD＝16，CF＝6，

∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，

由折疊可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．

∴DF＝5．

∵∠C＝90°，

∴DC＝＝8．

∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．

∴四邊形EQCD是長方形．

∴EQ＝DC＝4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB．

∵∠BEF＝∠DEF，

∴∠BEF＝∠EFB．

∴BE＝BF，

由問題情境中的結論可得：PG+PH＝EQ．

∴PG+PH＝8．

∴PG+PH的值為8；

遷移拓展:如圖，

由題意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）

∴AB＝＝10，BC＝10．

∴AB＝BC，

（1）由結論得：P1D1+P1E1＝OA＝8

∵P1D1＝1＝2，

∴P1E1＝6 即點P1的縱坐標為6

又點P1在直線l2上，

∴y＝2x+8＝6，

∴x＝﹣1，

即點P1的坐標為（﹣1，6）；

（2）由結論得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8

∵P2D2＝2，

∴P2E2＝10 點P1的縱坐標為10

又點P1在直線l2上，

∴y＝2x+8＝10，

∴x＝1，

即點P1的坐標為（1，10）