Question

【題目】如圖，已知□ABCD邊BC在x軸上，頂點A在y軸上，對角線AC所在的直線為y=+6，且AC=AB，若點P從點A出發以1cm/s的速度向終點O運動，同時點Q從點C出發以2cm/s的速度沿射線CB運動，當點P到達終點O時，點Q也隨之停止運動．設點P的運動時間為t（s）．

（1）直接寫出頂點D的坐標（______，______），對角線的交點E的坐標（______，______）；

（2）求對角線BD的長；

（3）是否存在t，使S△POQ=SABCD，若存在，請求出的t值；不存在說明理由．

（4）在整個運動過程中，PQ的中點到原點O的最短距離是______cm，（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）16；6；4；3；（2）BD=6；（3）存在，t值為2；（4）此時PQ的中點到原點O的最短距離為.

【解析】

（1）令x=0，y=0代入解析式得出A，C坐標，進而利用平行四邊形的性質解答即可；

（2）根據平行四邊形的性質得出點B，D坐標，利用兩點間距離解答即可；

（3）利用三角形的面積公式和平行四邊形的面積公式列出方程解答即可；

（4）根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半可知，當PQ長度最短時，PQ的中點到原點O的距離最短解答即可．

（1）把x=0代入y=+6，可得y=6，

即A的坐標為（0，6），

把y=0代入y=+6，可得：x=8，

即點C的坐標為（8，0），

根據平行四邊形的性質可得：點B坐標為（-8，0），

所以AD=BC=16，

所以點D坐標為（16，6），

點E為對角線的交點，

故點E是AC的中點，

E的坐標為（4，3），

故答案為：16；6；4；3；

（2）因為B（-8，0）和D（16，6），

∴BD=；

（3）設時間為t，可得：OP=6-t，OQ=8-2t，

∵S△POQ= SABCD，

當0＜t≤4時，，

解得：t1=2，t2=8（不合題意，舍去），

當4＜t≤6時，，

△＜0，不存在,

答：存在S△POQ=SABCD，此時t值為2；

（4）∵，

當t=時，PQ=，

當PQ長度最短時，PQ的中點到原點O的距離最短，此時PQ的中點到原點O的最短距離為PQ==