Question

已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以點D為圓心，DA長為半徑的⊙D與AB相切于A，與BC交于點F，過點D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：四邊形ABED為矩形；
（2）若AB=4， ，求CF的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）2

（1）證明：∵⊙D與AB相切于點A，∴AB⊥AD。
∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。
∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。
∴四邊形ABED為矩形。
（2）解：∵四邊形ABED為矩形，∴DE=AB=4。
∵DC=DA，∴點C在⊙D上。
∵D為圓心，DE⊥BC，∴CF=2EC。
∵，設AD=3k（k＞0）則BC=4k。∴BE=3k，EC=BC－BE=4k－3k=k，DC=AD=3k。
由勾股定理得DE²＋EC²=DC²，即4²＋k²=（3k）²，∴k²=2。
∵k＞0，∴k=。∴CF=2EC=2。
（1）根據AD∥BC和AB切圓D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出結論。
（2）根據矩形的性質求出AD=BE=AB=DE=4，根據垂徑定理求出CF=2CE，設AD=3k，則BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一個關于k的方程，求出k的值，即可求出答案