Question

【題目】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分別交AB，BC，BD于E，F，G，連接DE，DF．

（1）求證：DE=DF；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，DE=4，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）CF的長為2+

【解析】試題分析：（1）本題利用垂直平分線的性質，角平分線的性質得出結論，證明四邊形BFDE為菱形即可；（2）本題要根據菱形得出三角形DFC的角的度數，作垂直構造特殊的三角形解決問題即可.

試題解析：（1）證明：∵EF垂直平分BD，

∴EB=ED，FB=FD．

∵BD平分∠ABC交AC于D，

∴∠ABD=∠CBD．

∵∠ABD+∠BEG=90°，∠CBD+∠BFG=90°，

∴∠BEG=∠BFG．

∴BE=BF．

∴四邊形BFDE是菱形．

∴DE=DF．

（2）解：過D作DH⊥CF于H．

∵四邊形BFDE是菱形，

∴DF∥AB，DE=DF=4．

在Rt△DFH中，∠DFC=∠ABC=30°，

∴DH=2．

∴FH=．

在Rt△CDH中，∠C=45°，

∴DH=HC=2．

∴CF=2+．