Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB,AD CD,垂足為D，AD交⊙O 于E,連接CE.

（1）求證：CD 是⊙O 的切線
（2）若E是弧AC的中點，⊙O 的半徑為1，求圖中陰影部分的面積。

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC為∠DAB的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD與圓O相切；
（2）解：連接EB，交OC于F．

∵E為弧AC的中點，

∴弧AE==弧EC，∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA．

又∵∠EAC=∠OAC，

∴∠ECA=∠OAC，

∴CE∥OA．

又∵OC∥AD，

∴四邊形AOCE是平行四邊形，

∴CE=OA，AE=OC．

又∵OA=OC=1，

∴四邊形AOCE是菱形．

∵AB為直徑，得到∠AEB=90°，

∴EB∥CD．

∵CD與⊙O相切，C為切點，

∴OC⊥CD，

∴OC∥AD，

∵點O為AB的中點，

∴OF為△ABE的中位線，

∴OF= AE= ，即CF=DE= ，

在Rt△OBF中，根據勾股定理得：EF=FB=DC= ，則S陰影=S△DEC= ．

【解析】（1）要證CD與圓O相切，需證OC垂直于CD,結合已知條件，由AC為角平分線得到一對角相等，再由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OC與AD平行，根據AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得證；
（2）根據E為弧AC的中點，得到弧AE=弧EC，利用等弧對等弦得到AE=EC，可得出弓形AE與弓形EC面積相等，陰影部分面積可轉化為為直角三角形DEC的面積，求出S△DEC即可.