Question

【題目】已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中， ，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，

∴∠DAO= ∠BAD= ×60°=30°，

∵∠EOD=30°，

∴∠AOE=90°﹣30°=60°，

∴∠AEF=180°﹣∠DAO﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，

∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠DAO=30°，

∴OD= AD= ×2=1，

∴AO= = = ，

∴AE=CF= × = ，

∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，

∴高EF=2× = ，

在Rt△CEF中，CE= = = ．

【解析】（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得AO=CO，對(duì)邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長(zhǎng)，再求出EF的長(zhǎng)，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．