Question

【題目】操作體驗：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點C'處．點P為直線EF上一動點(不與E、F重合)，過點P分別作直線BE、BF的垂線，垂足分別為點M和N，以PM、PN為鄰邊構造平行四邊形PMQN．

（1）如圖1，求證：BE=BF；

（2）特例感知：如圖2，若DE=5，CF=3，當點P在線段EF上運動時，求平行四邊形PMQN的周長；

（3）類比探究：如圖3，當點P在線段EF的延長線上運動時，若DE=a，CF=b．請直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數量關系．(不要求寫證明過程)

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3）QN﹣QM=．

【解析】

（1）證明∠BEF＝∠BFE即可解決問題（也可以利用全等三角形的性質解決問題即可）．
（2）如圖2中，連接BP，作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形．利用等面積法證明PM＋PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解決問題．
（3）如圖3中，連接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBPS△BFP＝S△EBF，可得BEPMBFPN＝BFEH，由BE＝BF，推出PMPN＝EH＝，即可得到QNQM＝PMPN＝．

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB，

由翻折可知：∠DEF=∠BEF，

∴∠BEF=∠EFB，

∴BE=BF；

（2）如圖2中，連接BP，作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，EH=AB，

∵DE=EB=BF=5，CF=3，

∴AD=BC=8，AE=3，

在Rt△ABE中，∵∠A=90°，BE=5，AE=3，

∴AB=，

∵S△BEF=S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴BFEH=BEPM+BFPN．

∵BE=BF，

∴PM+PN=EH=4．

∵四邊形PMQN是平行四邊形，

∴四邊形PMQN的周長=2(PM+PN)=8；

（3）如圖3中，連接BP，作EH⊥BC于H．

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，
∴AD＝BC＝a＋b，
∴AE＝ADDE＝b，
∴EH＝AB＝，
∵S△EBPS△BFP＝S△EBF，
∴BEPMBFPN＝BFEH，
∵BE＝BF，
∴PMPN＝EH＝，
∵四邊形PMQN是平行四邊形，
∴QNQM＝PMPN＝．