Question

【題目】如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點，且分別與x軸的正半軸交于點B，點A，OA＝2OB．

（1）求拋物線C2的解析式；

（2）在拋物線C2的對稱軸上是否存在點P，使PA+PC的值最小？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由；

（3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個動點，連接MO，MC，M運動到什么位置時，△MOC面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）線段OC的長度；（3）S△MOC最大值為．

【解析】

（1）C1、C2：y=ax2+bx開口大小相同、方向相反，則a=-1，將點A的坐標代入C2的表達式，即可求解；
（2）點A關于C2對稱軸的對稱點是點O（0，0），連接OC交函數C2的對稱軸與點P，此時PA+PC的值最小，即可求解；
（3）S△MOC=MH×xC=（-x2+4x-x）= -x2+x，即可求解．

（1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝0或2，即點B（2，0），

∵C1、C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，則a＝﹣1，

則點A（4，0），將點A的坐標代入C2的表達式得：

0＝﹣16+4b，解得：b＝4，

故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x；

（2）聯立C1、C2表達式并解得：x＝0或3，

故點C（3，3），

連接OC交函數C2的對稱軸與點P，

此時PA+PC的值最小為：線OC的長度;

設OC所在直線方程為：

將點O（0，0），C（3，3）帶入方程，解得k=1，

所以OC所在直線方程為：

點P在函數C2的對稱軸上，令x=2,帶入直線方程得y=2,

點P坐標為（2，2）

（3）由（2）知OC所在直線的表達式為：y＝x，

過點M作y軸的平行線交OC于點H，

設點M（x，﹣x2+4x），則點H（x，x），則MH=﹣x2+4x﹣x

則S△MOC=S△MOH+S△MCH

=MH×xC = （﹣x2+4x﹣x）=

∵△MOC的面積是一個關于x的二次函數，且開口向下

其頂點就是它的最大值。其對稱軸為x==，此時y=

S△MOC最大值為．