Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=﹣x+2經過點A，C

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為直線AC上方拋物線上一動點．

①連接PO，交AC于點E，求的最大值；

②過點P作PF⊥AC，垂足為點F連接PC，是否存在點P，使△PFC中的一個角等于∠CAB的2倍？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）①1；②P點坐標是（2，3）或（，）．

【解析】

（1）由直線求出A、C兩點的坐標，代入拋物線的解析式求出，的值；

（2）①過點P向軸做垂線，交直線AC于點M，交軸于點N，

利用相似三角形的性質得，求出的表達式，根據一元二次函數的性質，求出的最大值，即可得出答案；

②分兩種情況討論：

情況一：

以為條件，由幾何關系得出，即，

令P（ ，），代入解出P點坐標；

情況二：

以為條件，，

設，由幾何關系得到，解出的值，求得P點坐標.

解：（1）當x=0時，y=2，即C（0，2），

當y=0時，x=4，即A（4，0），

將A，C點坐標代入函數解析式，得

，

解得，

拋物線的解析是；

（2）①過點P向軸做垂線，交直線AC于點M，交軸于點N

，

∵直線軸，

∴，

∴，

把代入，得，即OC=2，

設點P（，），則點M（ ，），

∴PM=（）-（）==，

∴，

∵，

∴當時，有最大值1．

②∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，2），

∴AC=，BC=，AB=5，

∴，

∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點D，

∴D（，0），

∴，

∴，

∴，

過P作軸的平行線交軸于R，交AC的延長線于G，

情況一：如圖，

，

∴，

∴，

∴，

即，

令P（ ，），

∴PR=，RC=，

∴，

∴（舍去）， ，

∴，，P（2，3）

情況二，∴，

∴，

設，

∴，，

∵，

∴，

∴，，

∴，，

，

∴，

∴（舍去），，

，，即P，

綜上所述：P點坐標是或．