Question

【題目】已知在扇形中，圓心角，半徑．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交弧于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_________，的度數(shù)為_________；

（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)為弧上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)分別在半徑，上，連接，則

①求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？

②的長(zhǎng)度是否是定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）中的條件下，若點(diǎn)是的外心，直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②是定值，為；（3）

【解析】

（1）先求出∠AOE，再解直角三角形，即可得出結(jié)論；
（2）①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，∠PMB=30°，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，∠PNA=30°，進(jìn)而求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是120°-30°-30°=60°，最后用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；
②先判斷出點(diǎn)P，M，O，N四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即⊙H上，進(jìn)而求出MK=，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出三角形PMN的外接圓的圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

解：（1）∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

在中，．

∴，，

故答案為：，

（2）①點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，其路徑也是一段弧，由題意可知，

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；

②是定值；

連接，取的中點(diǎn)，連接，，

∵在和中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，

∴，

∴根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即上，

又∵，，

∴，，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，

由垂徑定理得，，

∴在中，，，則，

∴，是定值．

（3）由（2）知，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，

∴是的外接圓的圓心，即：點(diǎn)和點(diǎn)重合，

∴，

∴點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)長(zhǎng)為．