Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AC是弦，點P從點B開始沿BA邊向點A以1cm/s的速度移動，若AB長為10cm，點O到AC的距離為4cm．
（1）求弦AC的長；
（2）問經過幾秒后，△APC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）過O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，從而AD=3，AC=6；
（2）有三種情況需要考慮：AC=PC，AP=AC，AP=CP，分別求出三種情況下，PB的值，即經過的時間．

解答：解：（1）過O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，
從而AD=

OA2-OD2

=3，
∴AC=2AD=6；

（2）設經過t秒△APC是等腰三角形，則AP=10-t，
①若AC=PC，過點C作CH⊥AB于H，
∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，
∴△AHC∽△ADO，
∴AC：AH=OA：AD，即AC：

10-t

2

=5：3，
∴經過

14

5

s后△APC是等腰三角形；

②若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10-x，
又∵AC=6，
則10-t=6，解得t=4s，
∴經過4s后△APC是等腰三角形；

③若AP=CP，P與O重合，
則AP=BP=5，
∴經過5s后△APC是等腰三角形．

點評：此題主要考查垂徑定理和等腰三角形的判定，注意三種情況的考慮．