Question

已知：如圖，AB是半圓O的直徑，OD是半徑，BM切半圓于點B，OC與弦AD平行交BM于點C．
（1）求證：CD是半圓O的切線；
（2）若AB的長為4，點D在半圓O上運動，當AD的長為1時，求點A到直線CD的距離．

Answer 1

分析：（1）由OC∥AD，得∠1=∠3，∠2=∠4，證得∠1=∠2，又OC公共，OD=OB，于是△ODC≌△OBC，則∠ODC=∠OBC，而BM切半圓于點B，得到∠OBC=90°，所以∠ODC=90°．
（2）過A作AE垂直CD，E為垂足，連BD，則∠ADB=90°，由∠EDA+∠3=∠4+∠ABD=90°，得到∠EDA=∠ABD，所以Rt△ADE∽Rt△ABD，得到AD²=AE•AB，而AB=4，AD=1，即可得到AE．

解答：（1）證明：如圖，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
而OD=OA，∠3=∠4，
∴∠1=∠2．
又∵OD=OB，OC公共，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC，
∵BM切半圓于點B，得到∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是半圓O的切線；

（2）解：過A作AE垂直CD，E為垂足，連BD，則∠ADB=90°，
∴∠EDA+∠3=∠4+∠ABD=90°，
∴∠EDA=∠ABD，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD²=AE•AB，
而AB=4，AD=1，
∴1=4AE，得AE=

1

4

．
所以點A到直線CD的距離為

1

4

．

點評：本題考查了圓的切線的判定方法．經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了切線的性質和三角形相似的判定和性質．