Question

【題目】如圖，點(diǎn)M（－3，m）是函數(shù)y＝x＋1與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP＝a（a≠2），過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線，分別交一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，B，過OP的中點(diǎn)Q作x軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，△ABC′與△ABC關(guān)于直線AB對(duì)稱．

①當(dāng)a＝4時(shí)，求△ABC′的面積；

②若△AMC與△AMC′的面積相等，求a的值 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①3.5；②a的值為3．

【解析】分析：（1）由一次函數(shù)解析式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），然后把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求得k的值，可得反比例函數(shù)表達(dá)式；

（2）①連接CC′交AB于點(diǎn)D．由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知AB垂直平分OC′，當(dāng)a=4時(shí)，利用函數(shù)解析式可分別求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，于是可得AB和CD的長(zhǎng)度，即可求得△ABC的面積；

②由△AMC與△AMC′的面積相等，得到C和C′到直線MA的距離相等，從而得到C、A、C′三點(diǎn)共線，故，又由AP＝PN，得到＝a＋1，解方程即可得到結(jié)論．

詳解：（1）把M（－3，m）代入y＝x＋1，則m＝－2．

將（－3，－2）代入，得k＝6，則反比例函數(shù)解析式是：；

（2）①連接CC′交AB于點(diǎn)D．則AB垂直平分CC′．

當(dāng)a＝4時(shí)，A（4，5），B（4，1.5），則AB＝3.5．

∵點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)，∴Q（2，0），∴C（2，3），則D（4，3），

∴CD＝2，∴×3.5×2＝3.5，則＝3.5；

②∵△AMC與△AMC′的面積相等，

∴C和C′到直線MA的距離相等，∴C、A、C′三點(diǎn)共線，∴．

又∵AP＝PN，∴＝a＋1，解得a＝3或a＝－4（舍去），

∴當(dāng)△AMC與△AMC′的面積相等時(shí)，a的值為3．