Question

【題目】問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°則：AC=AB．
（1）如圖1，連接AB邊上中線CF，試說明△ACF為等邊三角形；
（2）如圖2，在（1）的條件下，點D是邊CB延長線上一點，連接AD，作等邊△ADE，且點E在∠ACB的內部，連接BE，EF．試說明EF⊥AB.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；

【解析】

（1）根據三角形內角和定理得到∠A=60°，根據等邊三角形的判定定理證明；
（2）證明△CAD≌△FAE，根據全等三角形的性質得到∠EFA=∠BCA=90°，根據垂直的定義證明；

（1）證明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
∵CF=AB=AF，∠A=60°，
∴△ACF為等邊三角形；
（2）證明：∵△ACF為等邊三角形，
∴AC=AF，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE=DE，∠DAE=60°，
∴∠CAB+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△FAE中，
，

∴△CAD≌△FAE（SAS），
∴∠EFA=∠BCA=90°，即EF⊥AB；