Question

【題目】如圖，在中，點是邊上的一個動點，過點作直線，設交的平

分線于點，交的外角平分線于點．

求證：；

當點運動到何處時，四邊形是矩形？為什么？

進行怎樣的變化才能使邊上存在點，使四邊形是正方形？為什么？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當點運動到的中點時，四邊形是矩形，理由見解析

【解析】

（1）由已知MN∥BC得到兩對內錯角相等，再由CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，根據等量代換可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，分別根據“等角對等邊”得證；

（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，根據對角線互相平分且相等的四邊形為矩形得證；

（3）由已知和（2）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

證明：∵，

∴，，

又已知平分，平分，

∴，，

∴，，

∴，，

∴；

解：當點運動到的中點時，四邊形是矩形．

∵當點運動到的中點時，，又，

∴四邊形為平行四邊形，

又為的平分線，為的平分線，

∴，，

∴，即，

∴四邊形是矩形；解：當點運動到的中點時，且滿足為直角的直角三角形時，四邊形是正方形．

∵由知，當點運動到的中點時，四邊形是矩形，

已知，當，則

，

∴，

∴四邊形是正方形．