Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AC的延長線上有點D，AC=3CD，連接BD，E為BD的中點，CE是⊙O的切線．

（1）求證：BD與⊙O相切；

（2）求∠ACE的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）120°

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用圓周角定理得∠ACB＝90°，再根據斜邊上的中線性質得CE＝BE＝DE，所以∠1＝∠2，接著根據切線的性質得∠1＋∠3＝90°，于是∠2＋∠4＝90°，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）設CD＝x，則AC＝3x，先證明△ABC∽△ADB，利用相似比得到AB＝2x，然后在Rt△ACB中利用余弦定義求出∠A＝30°，則∠OCA＝∠A＝30°，從而得到∠ACE的度數．

（1）連接OC，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵E為BD的中點，

∴CE=BE=DE，

∴∠1=∠2，

∵OB=OC，

∴∠3=∠4，

∵CE是⊙O的切線．

∴OC⊥CE，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠2+∠4=90°，即∠OBE=90°，

∴BD⊥AB，

∴BD與⊙O相切；

（2）解：設CD=x，則AC=3x，

∵∠CAB=∠BAD，∠ACB=∠ABD=90°，

∴△ABC∽△ADB，

∴，即，

∴AB=2x，

在Rt△ACB中，∵cosA==，

∴∠A=30°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠ACE=30°+90°=120°．