Question

【題目】如圖P為等邊△ABC外一點，AH垂直平分PC于點H，∠BAP的平分線交PC于點D

(1) 求證：DP＝DB

(2) 求證：DA＋DB＝DC

(3) 若等邊△ABC邊長為，連接BH，當△BDH為等邊三角形時，請直接寫出CP的長度為_________

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 (3)

【解析】試題分析：（1）首先由等邊三角形的性質易得AB=AC=BC，由垂直平分線的性質易得AP=AC，即AP=AB，由SAS可證得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性質可得結論；

（2）在CP上截取CQ=PD，證明△ACQ≌△APD，利用全等三角形的性質可得△ADQ是等邊三角形，得出結論；

（3）連接BH，延長AD交PB于點E，根據PA=PB，AD是角平分線得出AE⊥PB，且平分PB，由△BDH是等邊三角形，知PD=BD，易得BD=DH=BH，∠BPH=30°，然后根據30°角的直角三角形的三角函數和勾股定理可求解.

試題解析：(1) ∵AH是PC的垂直平分線

∴PA＝PC＝AB

∵AD平分∠PAB

∴∠PAD＝∠BAD

在△PAD和△BAD中，

∴△PAD≌△BAD（SAS）

∴DP＝DB

(2) 在CP上截取CQ＝PD，連接AQ

∵AP＝AC

∴∠APD＝∠ACQ

在△APD和△ACQ中，

∴△APD≌△ACQ（SAS）

∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD

∴∠BAC＝∠CAQ＋∠BAQ＝∠PAD＋∠BAQ＝∠BAD＋∠BAQ＝∠DAQ＝60°

∴△ADQ為等邊三角形

∴AD＝DQ

∴CD＝DQ＋CQ＝AD＋DB

(3) （提示：設DP＝DB＝DH＝x，則CH＝2x，CD＝3x，AD＝CD－DB＝2x）